Många studenter som studerade högre matematik under sina äldre år undrade förmodligen: var tillämpas differentialekvationer (DE) i praktiken? Som regel diskuteras inte denna fråga i föreläsningar och lärare går omedelbart över till att lösa DE utan att förklara för eleverna hur olika ekvationer tillämpas i verkliga livet. Vi kommer att försöka fylla detta gap.
Låt oss börja med att definiera en differentiell ekvation. Så, en differentialekvation är en ekvation som förbinder värdet på derivat av en funktion med själva funktionen, värdena på den oberoende variabeln och några siffror (parametrar).
Det vanligaste området där differentialekvationer tillämpas är den matematiska beskrivningen av naturfenomen. De används också för att lösa problem där det är omöjligt att etablera en direkt relation mellan vissa värden som beskriver en process. Sådana problem uppstår inom biologi, fysik, ekonomi.
I biologi:
Den första meningsfulla matematiska modellen som beskriver biologiska samhällen var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en population av två interagerande arter. Den första av dem, kallad rovdjur, i frånvaro av den andra, dör ut enligt lagen x ′ = –ax (a> 0), och den andra - bytet - i frånvaro av rovdjur multipliceras på obestämd tid i enlighet med lagen av Malthus. Samspelet mellan dessa två typer modelleras enligt följande. Offer dör ut med en hastighet som är lika med antalet möten med rovdjur och byte, vilket i denna modell antas vara proportionellt mot storleken på båda populationerna, dvs lika med dxy (d> 0). Därför är y ′ = by - dxy. Rovdjur reproducerar med en hastighet som är proportionell mot antalet ätade byten: x ′ = –ax + cxy (c> 0). System av ekvationer
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
rovdjuret som beskriver en sådan population kallas Lotka-Volterra-systemet (eller modellen).
I fysik:
Newtons andra lag kan skrivas i form av en differentiell ekvation
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), där m är kroppens massa, x är dess koordinat, F (x, t) är den kraft som verkar på kroppen med koordinaten x vid tidpunkten t. Dess lösning är kroppens bana under inverkan av den angivna kraften.
I ekonomi:
Modell för naturlig tillväxt av produktionen
Vi antar att vissa produkter säljs till ett fast pris P. Låt Q (t) beteckna mängden produkter som säljs vid tidpunkten t; då är intäkterna vid denna tidpunkt lika med PQ (t). Låt en del av den angivna inkomsten spenderas på investeringar i produktion av sålda produkter, dvs.
I (t) = mPQ (t), (1)
där m är investeringsgraden - ett konstant antal och 0
